數(shù)學(xué)必考的勾股定理考點(diǎn)

時(shí)間：2025-11-20 12:15:38 銀鳳初中知識(shí) 我要投稿

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　　勾股定理的證明是論證數(shù)學(xué)的發(fā)端，它是歷史上第一個(gè)把形與數(shù)聯(lián)系起來(lái)的定理，即第一個(gè)把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)的定理，也是數(shù)學(xué)家認(rèn)為探索外星文明與外星人溝通的最好“語(yǔ)言”。下面是小編整理的關(guān)于勾股定理的證明方法，希望大家認(rèn)真閱讀!

數(shù)學(xué)必考的勾股定理考點(diǎn)

　　數(shù)學(xué)必考的勾股定理考點(diǎn) 1

　　勾股定理

　　內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方;

　　勾股定理的由來(lái)：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理.我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來(lái)人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

　　勾股定理的證明

　　勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法。

　　用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是：

　�、賵D形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變

　　②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理

　　勾股定理的適用范圍

　　勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形。

　　勾股定理的逆定理

　　如果三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊.

　　①勾股定理的.逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長(zhǎng)邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以a，b，c 為三邊的三角形是直角三角形;若，時(shí)，以a，b，c 為三邊的三角形是鈍角三角形;若，時(shí)，以a，b，c 為三邊的三角形是銳角三角形;

　　②定理中a，b，c 及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)a，b，c 滿足，那么以a，b，c 為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊.

　�、酃垂啥ɡ淼哪娑ɡ碓谟脝�(wèn)題描述時(shí)，不能說(shuō)成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形

　　勾股數(shù)

　�、倌軌驑�(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，a，b，c 為正整數(shù)時(shí)，稱a，b，c 為一組勾股數(shù)。

　�、谟涀〕Ｒ姷墓垂蓴�(shù)可以提高解題速度，如3、4、5;6、8、10;5、12、13;7、24、25等。

　　勾股定理的應(yīng)用

　　勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問(wèn)題。在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線(通常作垂線)，構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解。

　　勾股定理逆定理的應(yīng)用

　　勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論。

　　互逆命題的概念

　　如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。

　　數(shù)學(xué)必考的勾股定理考點(diǎn) 2

　　勾股定理應(yīng)用舉例：

　　1、已知直角三角形的任意兩邊求第三邊。

　　2、已知直角三角形的任意一邊確定另兩邊的關(guān)系。

　　3、證明包含平方（算術(shù)平方根）關(guān)系的幾何問(wèn)題。

　　4、構(gòu)造方程（或方程組）計(jì)算有關(guān)線段的長(zhǎng)度，解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題。

　　平面展開——最短路徑問(wèn)題求解方法：

　　解決此類問(wèn)題時(shí)，要先確定好該路徑的起點(diǎn)終點(diǎn)，以及立方體的平面展開圖，借助勾股定理來(lái)求得路徑的`長(zhǎng)度。由于展開的方法可以多種，因此對(duì)于路徑的求解也是有多種方法，在這里必定有一個(gè)最小值，此值為最短路徑。

　　1、勾股數(shù)的定義：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，成為勾股數(shù)。

　　2、常見的勾股數(shù)有哪些：

　　（1）3，4，5

　�。�2）6，8，10

　�。�3）8，15，17

　�。�4）7，24，25

　　（5）5，12，13

　�。�6）9，12，15。

　　3、勾股數(shù)組的規(guī)律：

　�。�1）如果a為一個(gè)大于1的奇數(shù)，b、c是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，且，則a，b，c為一組勾股數(shù)；

　　（2）如果a，b，c為一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc也是一組勾股數(shù)，其中n（n≥1）為自然數(shù)；

　　數(shù)學(xué)必考的勾股定理考點(diǎn) 3

　　一：勾股定理

　　直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a+b＝c）

　　要點(diǎn)詮釋：

　　勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：

　�。�1）已知直角三角形的兩邊求第三邊

　　（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊

　�。�3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題

　　二：勾股定理的逆定理

　　如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c，則有關(guān)系a+b＝c，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

　　要點(diǎn)詮釋：

　　用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形應(yīng)注意：

　�。�1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；

　�。�2）驗(yàn)證c與a+b是否具有相等關(guān)系，若c＝a+b，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形

　　（若c>a+b，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c

　　三：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系

　　區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；

　　聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。

　　四：互逆命題的概念

　　如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的`逆命題。

　　規(guī)律方法指導(dǎo)

　　1．勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。

　　2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。

　　3．勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的主要錯(cuò) 誤。

　　4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c有下列關(guān)系：a+b＝c，那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法．

　　5.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過(guò)程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)學(xué)習(xí)加深對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解．

　　數(shù)學(xué)必考的勾股定理考點(diǎn) 4

　　一、勾股定理

　　勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

　　我國(guó)古代把直角三角形中，較短的直角邊叫做“勾”，較長(zhǎng)的直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”。結(jié)論為：“勾三股四弦五”。

　　a2+b2=c2

　　2221、如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a+b=c，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

　　2222、滿足a+b=c的3個(gè)正整數(shù)a、b、c稱為勾股數(shù)。(例如，3、4、5是一組勾股

　　數(shù))。利用勾股數(shù)可以構(gòu)造直角三角形。

　　二、平方根

　　1、定義——一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也稱為二次方根。也就是說(shuō)，如果x2=a，那么x就叫做a的`平方根。

　　2、一個(gè)正數(shù)有2個(gè)平方根，它們互為相反數(shù);0只有一個(gè)平方根，它是0本身;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

　　3、求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。

　　4、正數(shù)a有兩個(gè)平方根，其中正的平方根，也叫做a的算術(shù)平方根。

　　例如：4的平方根是±2，其中2叫做4的算術(shù)平方根，記作=2;2的平方根是±其中2的算術(shù)平方根。

　　0只有一個(gè)平方根，0的平方根也叫做0的算術(shù)平方根，即

　　三、立方根

　　1、定義——一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根，也稱為三次方根。也就是說(shuō)，如果x=a，那么x就叫做a的立方根，數(shù)a的立方根記作“，讀作“三次根號(hào)a”。

　　2、求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算，叫做開立方。

　　3、正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0。

　　四、實(shí)數(shù)

　　1、無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱為無(wú)理數(shù)。

　　2、有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

　　3、每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示，反之，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。

　　五、近似數(shù)與有效數(shù)字

　　1、例如，本冊(cè)數(shù)學(xué)課本約有100千字，這里100是一個(gè)近似似數(shù)。

　　2、對(duì)一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都稱為這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字。

　　數(shù)學(xué)必考的勾股定理考點(diǎn) 5

　　一、逆定理的內(nèi)容：

　　如果三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊。

　　說(shuō)明：

　　（1）勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和與較長(zhǎng)邊的平方作比較，若它們相等時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；

　　（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的`，如若三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但此時(shí)的斜邊是b。

　　二、利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形的一般步驟：

　�。�1）確定最大邊；

　�。�2）算出最大邊的平方與另兩邊的平方和；

　　（3）比較最大邊的平方與別兩邊的平方和是否相等，若相等，則說(shuō)明是直角三角形。

　　三、勾股數(shù)

　　能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)。

　　四、一個(gè)重要結(jié)論：

　　由直角三角形三邊為邊長(zhǎng)所構(gòu)成的三個(gè)正方形滿足“兩個(gè)較小面積和等于較大面積”。

　　五、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

　　解決圓柱側(cè)面兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題、航海問(wèn)題，折疊問(wèn)題、梯子下滑問(wèn)題等，常直接間接運(yùn)用勾股定理及其逆定理的應(yīng)用。

　　有了上文梳理的勾股定理的逆定理知識(shí)點(diǎn)整理，相信大家對(duì)考試充滿了信心，同時(shí)預(yù)祝大家考試取得好成績(jī)。